我們都知道圓周率π，π的定義是一個(gè)圓的周長(zhǎng)和這個(gè)圓的直徑的比值。
π=圓周長(zhǎng)：直徑
圓周長(zhǎng)=直徑×π=2R×π=2πR
我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)家祖沖之利用割圓術(shù)將π精確計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后第7位，這種精度領(lǐng)先西方數(shù)學(xué)500多年。
3.1415926＜π＜3.1415927
大約在2000多年前，人們就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了圓周率π。從直覺上來(lái)看，π顯然應(yīng)該是一個(gè)無(wú)理數(shù)，也就是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。
但直覺是不靠譜的，我們必須嚴(yán)格證明才能真正地讓所有人信服。為了嚴(yán)格證明π是無(wú)理數(shù)人類用了整整2000多年的時(shí)間！
接下來(lái)我們就來(lái)探討一下如何嚴(yán)格證明π是無(wú)理數(shù)。
首先我們需要了解在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，除了有理數(shù)就是無(wú)理數(shù)。也就是說(shuō)，有理數(shù)集Q和無(wú)理數(shù)集的交集是空集?，并集是實(shí)數(shù)集R。
有理數(shù)是指有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)，這里將整數(shù)視為有限小數(shù)。所有的有理數(shù)都可以寫成既約整分?jǐn)?shù)的形式，這里將整數(shù)視為分母為1的分?jǐn)?shù)。所謂既約整分?jǐn)?shù)就是指分子分母都是整數(shù)并且約到最簡(jiǎn)的分?jǐn)?shù)。
若a∈Q，則a=m/n，這里m、n∈整數(shù)集z，且(m，n)=1，n≠0。這里符號(hào)(m，n)，代表正整數(shù)m和n的最大公約數(shù)，若(m，n)=1，則稱m和n互質(zhì)。
無(wú)理數(shù)是指無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，任何無(wú)理數(shù)都不能寫成兩個(gè)整數(shù)相除的分?jǐn)?shù)形式。
接下來(lái)我們介紹連分?jǐn)?shù)的概念。
我們把形如上圖形式的分?jǐn)?shù)稱為連分?jǐn)?shù)，這里a0，a1，a2，a3，……，都是整數(shù)。
可以證明任何一個(gè)有理數(shù)都對(duì)應(yīng)某一個(gè)有限連分?jǐn)?shù)，任何一個(gè)無(wú)理數(shù)都對(duì)應(yīng)某一個(gè)無(wú)限連分?jǐn)?shù)。這里證明從略。
例如有理數(shù)3.245的有限連分?jǐn)?shù)如下：
有理數(shù)有限連分?jǐn)?shù)
無(wú)理數(shù)√2的無(wú)限連分?jǐn)?shù)如下：
黃金分割數(shù)(√5-1)/2的無(wú)限連分?jǐn)?shù)很有意思：
黃金分割數(shù)無(wú)限連分?jǐn)?shù)
1761年，瑞士數(shù)學(xué)家蘭伯特受此啟發(fā)，歷史上第一次給出了π是無(wú)理數(shù)的嚴(yán)格證明。
他首先證明了正切函數(shù)tan(x)可以表示成類似無(wú)限連分?jǐn)?shù)的無(wú)限連分函數(shù)形式：
利用以上結(jié)論，蘭伯特進(jìn)而證明了：如果x是非0有理數(shù)，那么tan(x)必然是無(wú)理數(shù)。這個(gè)結(jié)論非常有意思，證明過(guò)程有些繁雜，這里略去不講，有興趣的朋友可以進(jìn)一步了解一下。
特別注意：這個(gè)結(jié)論只說(shuō)了“如果x是非0有理數(shù)，那么tan(x)必然是無(wú)理數(shù)”；并沒(méi)有說(shuō)“如果x是無(wú)理數(shù)，那么tan(x)必然是有理數(shù)”。這里一定要區(qū)分開來(lái)。
有了以上基礎(chǔ)理論，接下來(lái)我們就可以利用反證法來(lái)證明π是無(wú)理數(shù)了。
求證：π是無(wú)理數(shù)
證明：假設(shè)π是有理數(shù)
顯然π/4也是有理數(shù)，且π/4≠0
我們有結(jié)論：如果x是非0有理數(shù)，那么tan(x)必然是無(wú)理數(shù)
所以tan(π/4)是無(wú)理數(shù)
tan(π/4)=tan(45°)=1是有理數(shù)
與tan(π/4)是無(wú)理數(shù)矛盾
說(shuō)明假設(shè)“π是有理數(shù)”錯(cuò)誤
所以π是無(wú)理數(shù)
證畢！
這個(gè)證明過(guò)程簡(jiǎn)潔清晰、邏輯縝密，堪稱反證法應(yīng)用的經(jīng)典例證，真是讓人賞心悅目。
至此，人們終于嚴(yán)格證明了π是無(wú)理數(shù)，后來(lái)人們還采用了構(gòu)造函數(shù)、微積分等多種方法證明了π是無(wú)理數(shù)。但相比而言，蘭伯特給出的證明方法更加符合數(shù)學(xué)的極致美學(xué)。
